08

Exercice 1.1

1.1.1

\(\lbrack A\rbrack_{F}^{+} = \left\{ A \right\} \cup \left\{ B \right\} \cup \left\{ C \right\} = \text{ ABC}\)

On regarde les flèches dans la fonction, transitivité

1.1.2

Clé de R avec \(\underline{v}\):

1. G = Attribut seulement à gauche: A (noyau) D = Attribut seulement à droite: C GD = Attribut à gauche et à droite: B A = Attribut absent: D

• G est forcément dans la clé: A est forcément dans la clé

3. \(\lbrack G \cup A\rbrack_{F}^{+} = \left\lbrack \text{AD} \right\rbrack_{F}^{+} = \text{ ADBC}\) tous les attributs AD est une clé (la seule)

4. Si noyau n’est pas une clé, on doit vérifier avec des attributs en plus

Exercice 1.2

1.2.1

1. \(\begin{array}{r} \mathcal{G} = \left\{ B \right\} \\ \mathcal{D} = \left\{ H \right\} \\ \mathcal{\text{GD}} = \left\{ A,C,D,E,G \right\} \\ \mathcal{A} = \left\{ F \right\} \\ \mathcal{N} = \mathcal{G \cup A} = \left\{ B,F \right\} \end{array}\)

2. Fermeture du noyau (\(\mathcal{N}\)): \(\left\lbrack \text{BF} \right\rbrack_{\text{Df}}^{+} = \text{ BFD } \rightarrow\) pas une clé

3. Ajout d’autres attributs

\(\left\lbrack \text{BFA} \right\rbrack_{\text{Df}}^{+} = \text{ BFDACEGH } \rightarrow\) clé
\(\left\lbrack \text{BFG} \right\rbrack_{\text{Df}}^{+} = \text{ BFDACEGH } \rightarrow\) clé
\(\left\lbrack \text{BFC} \right\rbrack_{\text{Df}}^{+} = \text{ BFDACEGH } \rightarrow\) clé
\(\left\lbrack \text{BFE} \right\rbrack_{\text{Df}}^{+} = \text{ BFED } \rightarrow\) pas une clé. Seule option: rajouter C. Or BFC est déjà une clé donc BFEC ne peut pas etre une clé \(\left\lbrack \text{BFEDH} \right\rbrack_{\text{Df}}^{+}\) n’est pas une clé: on a fini

Exercice 2

2.1

\(\begin{array}{r} \left\lbrack \text{AB} \right\rbrack_{\text{Df}}^{+} = \text{ ABCDEGH } \\ \left\lbrack \text{BG} \right\rbrack_{\text{Df}}^{+} = \text{ ABCDEGH} \end{array}\)

2.2

On regarde \(\left\lbrack \text{AB} \right\rbrack_{\text{Df}}^{+}\) et \(\left\lbrack \text{BG} \right\rbrack_{\text{Df}}^{+}\). Oui, oui, oui

Exercice 3: Ensemble minimal

3.1

3.2

Deux méthodes:

1. Calcul et comparaison des couvertures minimales

2. Savoir si \(\mathcal{G - F} \in \mathcal{F^{+}} \land \mathcal{F - G} \in \mathcal{G^{+}}\)

• \(\text{CE } \rightarrow H \in \mathcal{G}^{+}\) ? \(\left\lbrack \text{CE} \right\rbrack_{\mathcal{G}}^{+} = \text{ CEH}\) donc \(H \in \left\lbrack \text{CE} \right\rbrack_{\mathcal{G}}^{+}\) ✓

• \(A \rightarrow H \in \mathcal{G}^{+}\) ? \(\lbrack A\rbrack_{\mathcal{G}}^{+} = \text{ ABCEH}\) donc \(H \in \left\lbrack \text{CE} \right\rbrack_{\mathcal{G}}^{+}\) ✓

On a ici \(\mathcal{F}^{+} \subseteq \mathcal{G}^{+}\)

• \(C \rightarrow H \in \mathcal{F}^{+}\) ? \(\lbrack C\rbrack_{\mathcal{F}}^{+} = \text{ CEH}\) donc \(H \in \lbrack C\rbrack_{\mathcal{F}}^{+}\) ✓

• \(\text{AE } \rightarrow H \in \mathcal{F}^{+}\) ? \(\left\lbrack \text{AE} \right\rbrack_{\mathcal{F}}^{+} = \text{ AEH}\) donc \(H \in \left\lbrack \text{AE} \right\rbrack_{\mathcal{F}}^{+}\) ✓

On a ici \(\mathcal{G}^{+} \subseteq \mathcal{F}^{+}\)

D’où \(\mathcal{F}^{+} = \mathcal{G}^{+}\)

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